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D.A.ハーヴィル(伊理正夫訳)『統計のための行列代数 上』第8章 練習問題

1. 行列とする.(a)もしが右逆行列をもつならばであり,(b)もしが左逆行列をもつならばであることを示せ.

 補助定理8.1.1より,行列は,rank()=のときかつそのときに限って右逆行列をもつ.このとき,もしであると仮定すると,補助定理4.4.3より,任意の行列に対して,rank()かつrank()であるから,となり矛盾する.よってであり,(a)は成り立つ.
 また,補助定理8.1.1より,が左逆行列をもつのはrank()=のときかつそのときに限るので,(b)も同様に証明できる.