D.A.ハーヴィル（伊理正夫訳）『統計のための行列代数上』第11章練習問題

2.　もし ${\bf X}{_1},..,{\bf X}{_k}$ が（ ${\bf X}$ に関する）線形系 ${\bf AX=B}$ の解で ${c_1},..,{c_k}$ が $\sum_{i=1}^{k}{c_i}=1$ を満たすスカラーならば，行列 $\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i}$ は ${\bf AX}={\bf B}$ の解であることを示せ．

　条件より，すべての $i$ に対して， ${\bf AX}{_i}={\bf 0}$ が成り立つ．

　 ${\bf B}={\bf 0}$ の場合， ${\bf A}\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i}=$ $\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf A}{\bf X}{_i}=$ ${\bf 0}$ ． ${c_i}$ の値にかかわらず成り立つので， $\sum_{i=1}^{k}{c_i}=1$ の時も上式は成り立つ．よって， $\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i}$ は ${\bf AX}={\bf B}$ の解となっている．

　 ${\bf B}{\neq}{\bf 0}$ の場合， ${\bf A}\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i}=$ $\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf A}{\bf X}{_i}=\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf B}$ ． ${\bf B}{\neq}{\bf 0}$ より， $\sum_{i=1}^{k}{c_i}=1$ であれば， $\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i}$ は ${\bf AX}={\bf B}$ の解となる．