D.A.ハーヴィル（伊理正夫訳）『統計のための行列代数上』第5章練習問題

1. 任意の $m$ × $n$ 行列 ${\bf A}$ と， $n$ × $p$ 行列 ${\bf B}$ と， $p$ × $q$ 行列 ${\bf C}$ に対して，
${\mbox tr}({\bf ABC}) = {\mbox tr}({\bf B'A'C'}) = {\mbox tr}({\bf A'C'B'})$
であることを示せ．

　証明を自分で書かないと上達しないことはわかっているのですが，今までさぼってきました．少しずつ練習しましょう．ただし解答はついていないので，とんでもないことを書く可能性があります．
　ついでにTeXも書かないと忘れるので使ってみます．はてなのTeXオプションは汚いので，MathTeXを利用してみます．

　 ${\bf ABC}$ は2つの行列 ${\bf AB}$ と ${\bf C}$ の積と見なすことができる．定理より ${\mbox tr}({\bf AB}) = {\mbox tr}({\bf BA})$ が成り立つので， ${\mbox tr}({\bf ABC}) = tr({\bf BAC})$ である．さらに， ${\bf BAC}$ を， ${\bf BA}$ と ${\bf C}$ の積と見なすことで，定理 ${\mbox tr}({\bf AB}) = {\mbox tr}({\bf A'B'})$ より， ${\mbox tr}({\bf ABC}) = {\mbox tr}({\bf BAC}) = {\mbox tr}({\bf B'A'C'})$ である．
　次に， ${\bf B'A'C'}$ を， ${\bf B'}$ と ${\bf A'C'}$ の積と見なすことで，定理 ${\mbox tr}({\bf AB}) = {\mbox tr}({\bf BA})$ より， ${\mbox tr}({\bf B'A'C'}) = {\mbox tr}({\bf A'C'B'})$ が成り立つ．