D.A.ハーヴィル（伊理正夫訳）『統計のための行列代数上』第8章練習問題

1. ${\bf A}$ を $m \times n$ 行列とする．(a)もし ${\bf A}$ が右逆行列をもつならば $n \geq m$ であり，(b)もし ${\bf A}$ が左逆行列をもつならば $m \geq n$ であることを示せ．

　補助定理8.1.1より， $m \times n$ 行列 ${\bf A}$ は，rank( ${\bf A}$ )= $m$ のときかつそのときに限って右逆行列をもつ．このとき，もし $m > n$ であると仮定すると，補助定理4.4.3より，任意の $m \times n$ 行列 ${\bf A}$ に対して，rank( ${\bf A}$ ) $\leq m$ かつrank( ${\bf A}$ ) $\leq n$ であるから， $m \leq n$ となり矛盾する．よって $n \geq m$ であり，(a)は成り立つ．
　また，補助定理8.1.1より， ${\bf A}$ が左逆行列をもつのはrank( ${\bf A}$ )= $n$ のときかつそのときに限るので，(b)も同様に証明できる．