指数分布の性質 - おいしい批評生活

たまには、TeXの練習をしましょう。

確率変数 $X$ が次の確率密度関数を持つ指数分布に従うものとする。

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0, \lambda \gt 0$ 。

(i)　 $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ を示せ。

(ii)　任意の $a \gt 0$ に対して， $P(X \gt a)=e^{-\lambda a}$ を示せ。また， $X$ の中央値を求めよ。

［2013年RSS/JSS試験（Higher Certificate）］

(i) $E(X)=\int_{0}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx$ である。

$\int g(x)h'(x)dx=\int g(x)h(x)dx - \int g'(x)h(x)dx$ であるから，いま $g(x)=x, h'(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ と考えることにより，

$E(X)=[-xe^{-\lambda x}]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}dx$

$=0 + \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}$

(ii) 中央値 $Q_{\frac{1}{2}}(x)$ は， $P(X \gt Q_{\frac{1}{2}}(x)) = \frac{1}{2}$ を満たす。

$P(X \gt a)=\int_{a}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}=[-e^{-\lambda x}]_{a}^{\infty}=e^{-\lambda a}$ である。

$a = Q_{\frac{1}{2}}(x)$ とすると， $e^{-\lambda Q_{\frac{1}{2}}(x)}=\frac{1}{2}$ であり，

$-\lambda Q_{\frac{1}{2}}(x) = -\rm{log2}$ となるから， $Q_{\frac{1}{2}}(x)=\frac{{\rm log2}}{\lambda}$