矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学』

作者: 矢野健太郎,田代嘉宏
出版社/メーカー: 裳華房
発売日: 1993/11/05
メディア: 単行本
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色々と式変形が必要な不定積分・定積分のやり方をすっかり忘れている。

p.119
$\int_0^{\infty}e^{-x^{2}}dx$
の無限積分の値について。

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}}dxdy$
を考える。

$x=rcos{\theta},y=rsin{\theta}$ とおくと， $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
となる。また，
$dxdy=rdrd{\theta}$
であるから，

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}}dxdy=\int_0^{\infty}\int_0^{2{\pi}}e^{-r^{2}}rdrd{\theta}$
$=2{\pi}\int_0^{\infty}e^{-r^{2}}rdr=2{\pi}\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_{0}^{\infty}=2{\pi}\times(-\frac{1}{2})\times(0-1)={\pi}$
となる。

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy$
より，
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\mathstrut \pi}$

偶関数の性質により，
$\int_0^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\mathstrut \pi}}{2}$