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指数分布の性質

統計 メモ

 

たまには、TeXの練習をしましょう。 

確率変数 Xが次の確率密度関数を持つ指数分布に従うものとする。 

 f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0, \lambda \gt 0

 

(i)  E(X)=\frac{1}{\lambda}を示せ。

 

(ii) 任意の a \gt 0に対して, P(X \gt a)=e^{-\lambda a}を示せ。また, Xの中央値を求めよ。

 

[2013年RSS/JSS試験(Higher Certificate)]

 

(i)  E(X)=\int_{0}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dxである。 

 

 \int g(x)h'(x)dx=\int g(x)h(x)dx - \int g'(x)h(x)dxであるから,いま g(x)=x, h'(x)=\lambda e^{-\lambda x}と考えることにより,

 

 E(X)=[-xe^{-\lambda x}]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}dx

 =0 + \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}

 

(ii) 中央値 Q_{\frac{1}{2}}(x)は, P(X \gt Q_{\frac{1}{2}}(x)) = \frac{1}{2}を満たす。

 

 P(X \gt a)=\int_{a}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}=[-e^{-\lambda x}]_{a}^{\infty}=e^{-\lambda a}である。

 

 a = Q_{\frac{1}{2}}(x)とすると, e^{-\lambda Q_{\frac{1}{2}}(x)}=\frac{1}{2}であり,

 -\lambda Q_{\frac{1}{2}}(x) = -\rm{log2}となるから, Q_{\frac{1}{2}}(x)=\frac{{\rm log2}}{\lambda}