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D.A.ハーヴィル(伊理正夫訳)『統計のための行列代数 上』第11章 練習問題

メモ

2. もし {\bf X}{_1},..,{\bf X}{_k}が({\bf X}に関する)線形系 {\bf AX=B}の解で {c_1},..,{c_k} \sum_{i=1}^{k}{c_i}=1を満たすスカラーならば,行列 \sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i} {\bf AX}={\bf B}の解であることを示せ.

 条件より,すべての iに対して, {\bf AX}{_i}={\bf 0}が成り立つ.

  {\bf B}={\bf 0}の場合, {\bf A}\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i}= \sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf A}{\bf X}{_i}= {\bf 0} {c_i}の値にかかわらず成り立つので, \sum_{i=1}^{k}{c_i}=1の時も上式は成り立つ.よって, \sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i} {\bf AX}={\bf B}の解となっている.

  {\bf B}{\neq}{\bf 0}の場合, {\bf A}\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i}= \sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf A}{\bf X}{_i}=\sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf B} {\bf B}{\neq}{\bf 0}より, \sum_{i=1}^{k}{c_i}=1であれば, \sum_{i=1}^{k}{c_i}{\bf X}{_i} {\bf AX}={\bf B}の解となる.