D.A.ハーヴィル（伊理正夫訳）『統計のための行列代数上』第9章練習問題

3. $A$ を ${\bf 0}$ でない $m \times n$ 行列， ${\bf B}$ を最大列階数の行列， ${\bf T}$ を ${\bf A}={\bf BT}$ を満たす最大行階数の行列， ${\bf L}$ を ${\bf B}$ の左逆行列， ${\bf R}$ を ${\bf T}$ の右逆行列とする．
(a) 行列 ${\bf R}({\bf B'B)^{-1}{\bf R'}$ が行列 ${\bf A'A}$ の一般逆行列であり，行列 ${\bf L'}({\bf TT')^{-1}{\bf L}$ が行列 ${\bf AA'}$ の一般逆行列であることを示せ．

　題意より， ${\bf LB}={\bf I}$ ， ${\bf TR}={\bf I}$ である．
${\bf A'A}{\bf R}({\bf B'B)^{-1}{\bf R'}{\bf A'A}={\bf A'BTR}({\bf B'B})^{-1}{\bf R'T'B'A}$
$={\bf A'B}({\bf B'B})^{-1}{\bf B'A}={\bf A'B}({\bf B'B})^{-1}{\bf B'BT}$
$={\bf A'BT}={\bf A'A}$

　また， ${\bf AA'}{\bf L'}({\bf TT')^{-1}{\bf L}{\bf AA'}={\bf AT'B'}{\bf L'}({\bf TT')^{-1}{\bf L}{\bf BTA'}$
$={\bf AT'}({\bf TT')^{-1}{\bf TA'}={\bf BTT'}({\bf TT')^{-1}{\bf TA'}$
$={\bf BTA'}={\bf AA'}$ である．よって成り立つ．